segundo parcial

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta

El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma con el eje x. La medida del ángulo se toma en sentido contrario a las agujas del reloj.

La pendiente o tangente de un ángulo determina el ángulo de inclinación de la recta, es lo que se llama tangente inversa:

 La pendiente (GE/AE) es igual a la tangente del ángulo:

m = tan h, o lo que es lo mismo  1/tan (o tangente elevado a -1) de la pendiente es igual al ángulo h.

  arco tan (de la pendiente)=ángulo

Por ejemplo, el arco cuya tangente (segmento verde) es 0,75 es de 36,87º. 

El ángulo se calcula aplicando tangente inversa a la pendiente, esto quiere decir que si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta vale una unidad, el arco cuya tangente vale la unidad es de 45°.

Si tenemos por ejemplo que la pendiente de una recta es -1, esto quiere decir que la recta tiene una inclinación hacia la izquierda y que forma con el eje x 135°.Como la tangente en este caso es negativa, y tiene por valor -1, el ángulo de la misma va a ser -45. Si tomo 180° y le resto 45°, obtengo el ángulo real que forma esta línea con el eje x, que es 135°.

Para determinar la distancia entre dos puntos cualesquiera, se resta uno del otro:

Por ejemplo la distancia del punto tres al punto uno, que es igual a 3 - 1, o bien es igual a 1 - 3, en ambos casos son dos unidades la diferencia, sin tener en cuenta el signo.

En el dibujo tenemos que si restamos 3 - 0 tenemos tres unidades en equis, mientras que si restamos 0 - 1, tenemos una unidad en y, con signo negativo, lo que nos informa que la recta tiene pendiente hacia arriba a la izquierda.

Cualesquiera que sean los puntos BC, las proyecciones de ambos sobre los ejes condenados están dados por las fórmulas: X=x2-x1, Y=y2-y1.

La pendiente de una recta queda definida por el cociente entre la diferencia de las coordenadas en y y las coordenadas en x.

La pendiente de esta recta del dibujo es 1,8, esto quiere decir que cuando sube 1,8 unidades en vertical y hacia la derecha avanza 1 unidad en horizontal. Esta relación de proporción la podemos expresar con un triángulo rectángulo que tiene cinco unidades como cateto horizontal y nueve unidades como cateto vertical.

La pendiente se expresa por la letra m y es el cociente entre el cateto vertical y el cateto horizontal del triángulo rectángulo cuya hipotenusa es la recta de la que se quiere calcular la pendiente.

En la fórmula Punto-pendiente (fórmula encuadrada en el rectángulo azul) tenemos que al sustituir un punto cualquiera de coordenadas x2 y2 y la pendiente de la recta (definida por la letra m) obtenemos la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos dada su pendiente. Debajo de la fórmula en el rectángulo azul, tenemos un ejemplo de la ecuación cuya pendiente es 9/5.

Si despejamos los términos y dejamos sola la variable y obtenemos la ecuación ordinaria, mientras que si la ecuación queda igualada a cero tenemos la ecuación general.

Coordenadas del punto medio de un segmento

Ejemplo:

Halla las cordenadas del punto medio del segmento AB.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

 

Dividir un segmento dirigido en una razón dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las coordenadas de un punto  que satisface la comparación entre dos magnitudes.

En general, si la razón es de la forma , implica que el segmento se divide en a + b partes. Por ejemplo, si , el segmento se divide en 11partes iguales.

Sean los puntos,  así como el segmento de recta que los une:

Sea un punto  que pertenezca al segmento. Si se forman los triángulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es:

        y   

Donde r es la razón de proporcionalidad de semejanza.

Si se despeja x de la primera ecuación se tiene:

Análogamente se puede encontrar que:

Expresiones que sirven para obtener las coordenadas de un punto que divide a un segmento en una razón dada. 

En el caso particular en que se trate del punto medio, r vale  , y las ecuaciones se convierten en: y

   y